Ruina hazardzisty – dlaczego traderzy tracą kapitał?

Możesz trafnie przewidywać kierunek rynku, korzystać ze sprawdzonej strategii i skrupulatnie analizować wykresy, a mimo to ostatecznie skończyć z wyzerowanym kontem. Dlaczego i jak to w ogóle możliwe? Giełda to nie tylko gra o to, kto znajdzie lepszą okazję. Zanim jakakolwiek strategia inwestycyjna zacznie systematycznie przynosić zyski, musi zmierzyć się z bezlitosnym prawem statystyki, znanym od wielu lat jako problem ruiny hazardzisty. Zrozumienie tego zjawiska obnaża jedną z największych pułapek tradingu i pokazuje, dlaczego choćby uczciwa gra faworyzuje większy kapitał, z jakiego powodu odrabianie strat to matematyczna walka pod górę i jak jedno błędne założenie o wielkości pozycji w tradingu potrafi zniszczyć najlepszą rynkową przewagę.

Ruina hazardzisty – klasyczny model

Problem pojawił się w XVII wieku w korespondencji Blaise’a Pascala i Pierre’a de Fermata, a jego sformalizowaną wersję opublikował w 1657 roku Christiaan Huygens w swoim podręczniku o rachunku prawdopodobieństwa. W najprostszym ujęciu gracz dysponuje pewną liczbą jednostek kapitału i w każdej rundzie stawia jedną z nich. Z prawdopodobieństwem p wygrywa jednostkę, a z prawdopodobieństwem q = 1 − p ją traci. Gra trwa, dopóki gracz nie osiągnie wyznaczonego celu albo nie straci wszystkiego.

Model jest mocno uproszczony, ale właśnie dzięki temu pozwala wyizolować trzy czynniki decydujące o losie gracza, tzn. przewagę w pojedynczej rundzie, wielkość kapitału wyrażoną w liczbie stawek oraz wielkość kapitału po drugiej stronie stołu. Dla takiej gry istnieje zamknięty wzór na prawdopodobieństwo ruiny, a w grze sprawiedliwej upraszcza się on do ilorazu kapitału przeciwnika i łącznego kapitału obu stron. Zamiast jednak analizować formuły, przejdźmy do konkretnych liczb i przykładów.

Czym jest wartość oczekiwana?

Wartość oczekiwana (ang. Expected Value, EV) mówi, ile gra albo strategia przynosi średnio w jednej rundzie, jeżeli powtarzamy ją wiele razy. Liczy się ją prosto – każdy możliwy wynik mnożymy przez jego prawdopodobieństwo, a potem wszystko sumujemy.

Weźmy rzut monetą o 10 zł. Wypada orzeł, wygrywamy 10 zł. Wypada reszka, tracimy 10 zł. Każda z tych możliwości ma prawdopodobieństwo 50%, więc wartość oczekiwana wynosi 0,5 × 10 zł − 0,5 × 10 zł = 0 zł. Nie znaczy to, iż w każdym rzucie wychodzimy na zero, bo za każdym razem coś wygrywamy albo tracimy. Znaczy to tyle, iż po tysiącu rzutów wygrane i przegrane mniej więcej się zrównoważą. Taką grę nazywamy sprawiedliwą.

Teraz wyobraźmy sobie monetę lekko oszukaną, tzn. wygrywamy z prawdopodobieństwem 49%, a przegrywamy z prawdopodobieństwem 51%. Wartość oczekiwana wynosi wtedy 0,49 × 10 zł − 0,51 × 10 zł = −0,20 zł. W pojedynczym rzucie tej różnicy w ogóle nie widać, ale po 1000 rzutów daje ona średnio 200 zł straty. Mniej więcej tak działa przewaga kasyna – przykładowo przy obstawianiu koloru w ruletce europejskiej szansa wygranej wynosi około 48,6%.

Jak widać na powyższym przykładzie, wartość oczekiwana zależy nie tylko od tego, jak często wygrywamy, ale też od tego, ile wygrywamy i ile tracimy.

W dalszej części tekstu słowo przewaga oznacza po prostu dodatnią wartość oczekiwaną. Dana strategia ma przewagę, jeżeli po odliczeniu wszystkich kosztów zarabia średnio na każdej transakcji.

Dlaczego choćby sprawiedliwa gra może zrujnować gracza?

Wydawałoby się, iż w grze sprawiedliwej nic złego nie może się stać, skoro średnio nikt nie zarabia i nikt nie traci. Kłopot polega na tym, iż średnia nic nie mówi o tym, czy dotrwamy do końca gry.

Wróćmy do naszych 10 zł zakładów. Mamy łącznie 100 zł, czyli dziesięć stawek, i gramy z przeciwnikiem, który też ma 100 zł, aż jeden z nas straci wszystko. Gra jest symetryczna, więc każdy ma 50% szans na wygraną. Gdyby jednak nasz przeciwnik miał więcej kapitału, to miałby naturalnie większe szanse na dłuższe utrzymanie się w grze niż my. Na przykład, gdyby dysponował on w naszym przykładzie nie 100 zł, tylko 900 zł, to gra przez cały czas jest sprawiedliwa, a mimo to stracimy wszystko z prawdopodobieństwem 90%.

Skąd bierze się to 90%? Choć w każdym rzucie zyskujesz lub tracisz tylko 10 zł, to ustaliliśmy, iż cała gra toczy się tak długo, aż jeden z graczy straci wszystko. Oznacza to, iż ostateczny finał całej rozgrywki ma zawsze tylko 1 z 2 scenariuszy: albo to Ty jako pierwszy bankrutujesz (masz 0 zł), albo to przeciwnikowi kończą się środki, a Ty zabierasz całą pulę ze stołu (masz 1000 zł).

Trader jest w jeszcze gorszym położeniu, bo nie ma przeciwnika, którego mógłby ograć do zera. Handel na giełdzie nie kończy się w chwili, gdy rynek „zbankrutuje”. Kończy się wtedy, gdy trader sam zrezygnuje albo gdy skończą mu się pieniądze. Jeśli więc trader handluje bez przewagi i robi to wystarczająco długo, zwykłe przypadkowe wahania w końcu sprowadzą jego rachunek do zera.

Gra z ujemną wartością oczekiwaną

Przy „oszukanej monecie”, gdzie szanse wynoszą 49 do 51 na naszą niekorzyść, pozostało gorzej. Załóżmy, iż mamy 100 zł i chcemy je podwoić do 200 zł, grając aż do skutku. Intuicja podpowiada, iż granie ostrożnie, małymi kwotami, jest bezpieczniejsze. Matematyka mówi coś zupełnie odwrotnego. Cel pozostaje ten sam, zmieniamy tylko wysokość stawki:

Tabela: Stawka zakładu vs szansa na ruinę w grach o różnej przewadze. Źródło: Opracowanie własne.

Dlaczego mniejsze stawki tak drastycznie pogarszają sprawę? Kluczem jest czas trwania gry. Kiedy rzucamy o 10 zł, do podwojenia kapitału potrzebujemy przewagi zaledwie 10 wygranych. W tak krótkim czasie matematyczna przewaga kasyna (te 2% różnicy) nie zdąży się w pełni ujawnić, a strata łatwo ginie w przypadkowych wahaniach. Dobra passa może nas wtedy wynieść na plus.

Jeśli jednak zagramy po 1 zł, do podwojenia kapitału potrzebujemy przewagi aż 100 wygranych. W długiej grze, liczącej setki lub tysiące rozdań, szczęście przestaje mieć znaczenie, a systematyczna strata rośnie znacznie szybciej niż przypadkowy rozrzut wyników. Dobrze to widać na liczbach. Po 100 rundach za 1 zł tracimy średnio 2 zł, a nasz wynik typowo odchyla się od tej średniej o około 10 zł w górę lub w dół, więc o tym, czy jesteśmy na plusie, wciąż decyduje przypadek. Po 10000 rund średnia strata wynosi już jednak 200 zł, podczas gdy typowe odchylenie to tylko około 100 zł. O ostatecznym wyniku decyduje wtedy nieubłagana przewaga kasyna. Tak właśnie działa prawo wielkich liczb – im więcej prób, tym bardziej nasz średni wynik zbliża się do wartości oczekiwanej.

Nie wynika z tego, iż w takiej grze trzeba stawiać dużo. Wysoka stawka skraca grę i zostawia więcej miejsca przypadkowi, ale przegrana i tak pozostaje bardziej prawdopodobna niż wygrana. Wniosek jest prostszy, tzn. w grze z ujemną wartością oczekiwaną czas działa przeciwko nam i im dłużej gramy, tym pewniej przegrywamy.

Dla tradera ma to znaczenie przede wszystkim z powodu kosztów. Spread, czyli różnica między ceną kupna, a ceną sprzedaży, prowizje oraz poślizgi cenowe, czyli różnica między ceną, po której chcieliśmy zawrzeć transakcję, a ceną, po której faktycznie ją zawarliśmy, płacimy przy każdej transakcji, niezależnie od jej wyniku.

Od kasyna do rachunku maklerskiego

Trading różni się od klasycznego modelu w dwóch istotnych punktach. Pierwszym jest asymetria wypłat. Kwotę traconą w razie zamknięcia transakcji na zleceniu stop loss określa się często jako jednostkę ryzyka R (przykładowo, o ile ryzykujemy 10 zł, aby zyskać 20 zł, to jest to zakład o 2R). Strategia może wygrywać rzadziej niż w połowie przypadków i mimo to mieć dodatnią wartość oczekiwaną, jeżeli przeciętny zysk jest odpowiednio większy od straty. System, który trafia w 40% transakcji i przy trafieniu zarabia 2R, ma wartość oczekiwaną 0,4 × 2 − 0,6 × 1 = 0,2R na transakcję. To przyzwoity wynik, a osiągany przy przewadze liczebnej transakcji stratnych.

Drugą różnicą jest sposób ustalania wielkości pozycji. o ile trader ryzykuje stały procent bieżącego kapitału, po każdej stracie kolejna pozycja jest nieco mniejsza i matematycznie saldo nigdy nie spada do zera. Problem ruiny nie znika jednak, ale zmienia definicję i w praktyce ruina następuje znacznie wcześniej, tzn. gdy rachunek staje się zbyt mały do realizacji strategii, gdy broker zamyka pozycje z powodu braku depozytu, gdy firma typu prop trading odbiera finansowanie po przekroczeniu limitu obsunięcia albo gdy trader traci zaufanie do systemu i przestaje go stosować.

Serie strat w tradingu są częścią statystyki

Jednym z najczęstszych źródeł nadmiernego ryzyka jest niedocenianie długości serii stratnych, które pojawiają się w zupełnie przeciętnym przebiegu strategii. Ludzki umysł słabo ocenia losowość i traktuje kilka strat z rzędu jako sygnał, iż coś przestało działać, a dłuższą serię jako zdarzenie niemal niemożliwe.

Rachunek prawdopodobieństwa pokazuje coś innego. Przy skuteczności 50% i 500 transakcjach, co dla aktywnego tradera nie powinno stanowić żadnego problemu, seria co najmniej 8 strat z rzędu wystąpi z prawdopodobieństwem około 62%, a 10 strat z prawdopodobieństwem około 21%. Dla strategii o skuteczności 40%, takiej jak opisany system z wypłatą 2R, seria ośmiu strat jest niemal pewna.

Tabela: Prawdopodobieństwo wystąpienia liczby strat z rzędu w zależności od skuteczności strategii. Źródło: Opracowanie własne.

Zestawmy to z wielkością ryzyka. Seria 10 strat przy ryzyku 1% bieżącego kapitału na transakcję oznacza obsunięcie o około 9,6%, przy 2 procentach około 18%, przy 5% około 40%, a przy 10% około 65%. Ta sama, statystycznie zwyczajna seria jest dla jednego tradera nieprzyjemnym epizodem, a dla drugiego zdarzeniem, po którym dalszy handel staje się bardzo trudny. Warto dodać, iż obliczenia zakładają niezależność transakcji. Na rynku wyniki bywają powiązane, na przykład ze względu na emocje towarzyszące traderowi czy zmianę reżimu rynkowego z trendu bocznego na spadkowy, więc rzeczywiste serie strat bywają raczej dłuższe niż w modelu.

Poza tym, zaprezentowana wyżej matematyka inwestowania jest bezlitosna. Odrabianie strat zawsze wymaga procentowo większego zysku, niż wyniosło samo obsunięcie kapitału. Przykładowo, jeżeli stracisz 50% konta, musisz wygenerować aż 100% zysku na pozostałych środkach, żeby zaledwie wyjść na zero. Im głębszy dołek wykopiesz, tym nieproporcjonalnie trudniej jest z niego wyjść.

Ile ryzykować na jedną transakcję?

Aby zobaczyć, jak te elementy się łączą w praktyce rynkowej, warto przeprowadzić symulację Monte Carlo. Przyjmijmy strategię o skuteczności 40% i wypłacie 2R, czyli o wartości oczekiwanej 0,2R. To założenie raczej optymistyczne, bo stabilna przewaga tej wielkości jest rzadkością. Symulujemy 20000 przebiegów po 500 transakcji przy różnych poziomach ryzyka liczonego od bieżącego kapitału.

Symulacja Monte Carlo dla powyższych założeń. Źródło: Opracowanie własne.

Patrząc na wykres, można by dojść do wniosku, iż skoro niektóre czerwone ścieżki (ryzyko 5%) szybują do astronomicznych kwot, to warto podnosić stawkę jeszcze bardziej, na przykład do 10% czy 15%, by zmaksymalizować ten potencjał. Symulacja zakłada jednak wyidealizowany świat, w którym przewaga jest dokładnie znana i niezmienna, a inwestor przypomina maszynę, która bez wahania kontynuuje handel, choćby gdy kapitał zalicza drastyczne nurkowanie. W rzeczywistości mało kto potrafi utrzymać dyscyplinę po obsunięciu rzędu 80%, a jeszcze mniej osób umie wtedy odróżnić zwykłą złą passę od utraty przewagi przez dany system.

Co więcej, ciągłe podnoszenie stawki ma swój bezwzględny matematyczny sufit. Gdybyśmy symulowali ryzyko na poziomie 15%, okazałoby się, iż statystyczny kapitał końcowy jest wyraźnie niższy niż przy ostrożniejszych stawkach, choć same obsunięcia pogłębiają się niemal do zera. Zbyt agresywne ryzyko po prostu przestaje przynosić korzyści, choćby w kategoriach czysto matematycznych.

Zjawisko to opisuje kryterium Kelly’ego, sformułowane w 1956 roku przez Johna Kelly’ego i spopularyzowane w świecie inwestycji między innymi przez Edwarda Thorpa. Wskazuje ono ułamek kapitału maksymalizujący długoterminowe tempo wzrostu. Dla strategii o skuteczności p i stosunku zysku do straty b wynosi on p – q/b, w naszym przykładzie 0,4 – 0,6/2 = 0,1, czyli 10% na transakcję. Ryzykowanie więcej obniża tempo wzrostu, a przy mniej więcej dwukrotności tej wartości spada ono w okolice zera, mimo dodatniej wartości oczekiwanej pojedynczej transakcji.

Pełne kryterium Kelly’ego jest jednak w praktyce zbyt agresywne (zakłada między innymi, iż możemy grać w nieskończoność, co jak już wiemy jest w rzeczywistości nierealne). Inwestor czy trader stosujący dokładnie pełen ułamek Kelly’ego ma około 50% szans, iż w którymś momencie jego kapitał spadnie do połowy.

Kryterium wymaga jednak znajomości prawdziwych parametrów strategii, a te są szacowane z ograniczonej próby i obarczone błędem. Przeszacowanie przewagi prowadzi do ryzykowania zbyt dużo, a skutki tego błędu są poważniejsze niż skutki ryzykowania zbyt mało. Dlatego wielu doświadczonych traderów stosuje ułamki Kelly’ego rzędu ¼ lub mniej, co dla typowych strategii oznacza od 0,5-2% kapitału na transakcję. Popularna reguła 1-2% nie jest więc arbitralnym zwyczajem, ale rozsądnym kompromisem między tempem wzrostu, a prawdopodobieństwem przetrwania.

Co w praktyce zwiększa ryzyko ruiny?

Modele zakładają znane prawdopodobieństwa, niezależne transakcje i straty ograniczone do zaplanowanej wielkości. Rynek rzadko spełnia te warunki, a każde odstępstwo zwykle zwiększa realne ryzyko.

Pierwszym czynnikiem zwiększającym ryzyko ruiny są wspomniane już koszty transakcyjne. Strategia o wartości oczekiwanej 0,05R przed kosztami może po ich uwzględnieniu okazać się stratna, szczególnie w stylach krótkoterminowych, w których stop loss znajduje się blisko ceny wejścia, a koszty stanowią znaczący ułamek ryzykowanej kwoty.

Drugim jest korelacja między pozycjami. Trzy pozycje po 1% ryzyka na spółkach z jednego sektora lub parach walutowych z udziałem dolara to w praktyce bliżej 3% ryzyka na jednym pomyśle rynkowym. W okresach napięć korelacje zwykle rosną, więc dywersyfikacja słabnie akurat wtedy, gdy jest najbardziej potrzebna.

Trzecim czynnikiem są rozkład stóp zwrotu i zjawisko „czarnych łabędzi”. Standardowe modele matematyczne oparte o normalny rozkład prawdopodobieństwa zakładają, iż zjawiska o charakterze ekstremalnym są na tyle rzadkie, iż można je zignorować. Rzeczywistość giełdowa jest jednak inna i potężne odchylenia zdarzają się znacznie częściej, niż sugeruje czysta teoria. Te “czarne łabędzie”, czyli absolutnie nieprzewidywalne wydarzenia o gigantycznym wpływie na rynek, takie jak nagłe krachy, niespodziewane decyzje banków centralnych czy decydentów politycznych lub globalne kryzysy, sprawiają, iż nasza starannie zaplanowana strata 1R może zamienić się w katastrofalną stratę, drastycznie przybliżając nas do ruiny.

Czwartym jest dźwignia finansowa. Sama w sobie nie jest ani dobra, ani zła, ale łatwy dostęp do niej skłania do otwierania pozycji, których potencjalna strata stanowi duży ułamek rachunku, a do tego wprowadza ryzyko przymusowego zamknięcia pozycji w najmniej korzystnym momencie.

Piątym czynnikiem są zachowania zmieniające wielkość ryzyka w reakcji na wyniki. Uśrednianie stratnych pozycji, zwiększanie stawki po stracie czy odsuwanie stop loss’a przynoszą krótkoterminową ulgę, ale strukturalnie niszczą nasz portfel.

Ostatnim i być może najważniejszym czynnikiem jest niepewność co do samej przewagi. Testy historyczne są zawsze w pewnym stopniu dopasowane do danych, a próba kilkudziesięciu czy stu transakcji pozwala oszacować skuteczność jedynie z dużym marginesem błędu. Strategia, która w teście osiągnęła 55% skuteczność, w rzeczywistości może mieć mniej, a jak widzieliśmy, różnica kilku punktów procentowych potrafi wielokrotnie zmienić prawdopodobieństwo ruiny.

Jak zatem wykorzystać tę wiedzę w praktyce?

Problem ruiny hazardzisty przesuwa uwagę z pytania, ile można zarobić, na pytanie, jak długo można przetrwać.

Praktycznym punktem wyjścia jest określenie, jakie obsunięcie trader jest w stanie zaakceptować finansowo i psychologicznie bez porzucenia strategii. Znając przybliżoną skuteczność i profil wypłat systemu, można następnie oszacować prawdopodobne serie strat i dobrać ryzyko na transakcję tak, by typowa zła passa mieściła się z zapasem w tym limicie. Warto też z góry określić zasady postępowania przy nieuniknionym obsunięciu, na przykład zmniejszenie pozycji po przekroczeniu ustalonego progu straty od szczytu, oraz kontrolować łączne ryzyko portfela z uwzględnieniem korelacji.

Podsumowanie

Ruina hazardzisty to jedno z najstarszych zagadnień rachunku prawdopodobieństwa i jednocześnie jedno z najbardziej aktualnych dla wszystkich, kto aktywnie handluje na rynkach. Strategia bez przewagi prowadzi w długim terminie do utraty kapitału. Z kolei posiadanie przewagi jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym, bo o przetrwaniu decyduje również kapitał.

Serie strat dłuższe, niż podpowiada intuicja, są normalnym elementem pracy każdej strategii. Asymetria obsunięć sprawia jednak, iż głębokie straty są nieproporcjonalnie trudne do odrobienia, a zbyt duże ryzyko na transakcję od pewnego poziomu obniża choćby oczekiwane tempo wzrostu kapitału. Zarządzanie wielkością pozycji nie jest więc dodatkiem do strategii, ale jedną z jej najbardziej istotnych części, często ważniejszą niż sam sposób wyszukiwania sygnałów. Dobra strategia stosowana ze zbyt dużym ryzykiem może zakończyć się utratą kapitału, a przeciętna, stosowana z dyscypliną i umiarem, daje statystyce czas, by zadziałała na korzyść tradera.