Zagadnienia stateczności konstrukcji budowlanych stanowią jeden z trudniejszych działów mechaniki budowli, z którym projektanci konstrukcji zmagają się na co dzień. Niezależnie od tego, czy projektujemy klasyczną drewnianą więźbę dachową, stalową belkę podsuwnicową, czy też słup żelbetowy, za każdym razem procedury normowe wymagają od nas rozwiązania mniej lub bardziej złożonego problemu stateczności.
W artykule przedstawiono wybrane zagadnienia stateczności konstrukcji spotykane w praktyce projektowej. Zwrócono uwagę na problem wyznaczania współczynników długości wyboczeniowych słupów. Porównano wyniki ścisłe z rezultatami obliczonymi dzięki komercyjnych programów bazujących na uproszczonych metodach analizy stanu wyboczenia, wskazując na wady podejść uproszczonych. Szeroko omówiono problem obliczania połączenia prefabrykowanego słupa żelbetowego z fundamentem oraz kwestię wyboru adekwatnego zestawu sił do wymiarowania fundamentu.
Współczynnik długości wyboczeniowej
Jednym z codziennych problemów projektanta konstrukcji budowlanych jest wybór adekwatnej wartości współczynnika długości wyboczeniowej pręta ściskanego. jeżeli spojrzymy na trzy najbardziej popularne Eurokody odnoszące się odpowiednio do projektowania konstrukcji z betonu EC 2 [1], konstrukcji stalowych EC 3 [2] i drewnianych EC 5 [3], to zauważymy, iż w każdym z nich odpowiednie procedury normowe wymagają określenia długości wyboczeniowej, nazywanej również długością efektywną. Pomimo iż w wielu publikacjach autorzy podają wartości współczynników wyboczeniowych, to jednak odnoszą się one zwykle do wyizolowanych prętów o klasycznych schematach statycznych, podczas gdy w większości przypadków mamy do czynienia z prętami stanowiącymi integralną część bardziej złożonego ustroju ramowego. Wartość współczynnika długości wyboczeniowej jest funkcją wielu zmiennych.
Zależy ona między innymi od: sposobu podparcia ramy, jej geometrii, proporcji pomiędzy sztywnościami poszczególnych prętów, rodzaju połączeń między nimi czy wreszcie sposobu obciążenia całej konstrukcji. Tak więc na przykład współczynnik długości wyboczeniowej sztywno-przegubowego pryzmatycznego pręta stanowiącego słup ramy może być (i zwykle jest) większy od 0,7. Co więcej, jego wartość zależy od sposobu obciążenia, a zatem będzie inna w każdej kombinacji obciążeń.
Zobrazowanie sposobu obciążenia konstrukcji na wartość współczynnika długości wyboczeniowej
Na rys. 1 pokazano dwie ramy płaskie, ich postacie wyboczenia odpowiadające pierwszej najniższej sile krytycznej oraz wartości współczynników μ słupów wyznaczone w sposób ścisły dzięki metody przemieszczeń z wykorzystaniem wzorów transformacyjnych wyprowadzonych według teorii II rzędu [4]. Jak widzimy, zarówno w pierwszym, jak i w drugim przypadku obliczone współczynniki długości wyboczeniowych są większe od wartości odpowiadających wyizolowanym prętom o zadanych, klasycznych schematach statycznych, które powszechnie podawane są w literaturze. Warto zwrócić uwagę, iż współczynnik długości wyboczeniowej pręta nie zależy wprost od wartości sztywności giętnej EI, a jedynie od proporcji między sztywnościami poszczególnych prętów. Stąd na rys. 1 sztywności prętów opisano w sposób ogólny.
Aby zobrazować wpływ sposobu obciążenia konstrukcji na wartość współczynnika długości wyboczeniowej, na rys. 2 przedstawiono przebiegi zmian współczynnika μAB części dolnej przykładowego żelbetowego słupa w funkcji stosunku siły P1 do P2. Uwzględniono trzy różne położenia krótkiego wspornika. Obliczenia przeprowadzono przy użyciu autorskiego programu bazującego na ścisłym rozwiązaniu równania stateczności zapisanego dzięki metody przemieszczeń. Współczynnik długości wyboczeniowej części dolnej w rozpatrywanych przypadkach zmienia się od 2,15 do 3,09. Trudność podania konkretnej, uniwersalnej wartości liczbowej sprawia, iż współczesne Eurokody w zasadzie nie zawierają stabelaryzowanych współczynników wyboczeniowych. Normy Europejskie odsyłają projektantów do zasad mechaniki budowli i metod numerycznych.
Niektóre z dostępnych na rynku komercyjnych programów komputerowych posiadają moduły pozwalające w sposób automatyczny obliczać długości wyboczeniowe prętów konstrukcji ramowych. Autor sprawdził dwa z popularnych programów używanych w Polsce, analizując słupy ram pokazane na rys. 1. Aby zamodelować przykładowe konstrukcje, przyjęto, iż pręty wykonuje się z profili stalowych HEA 280 i HEA 360. Zachowano tym samym proporcję pomiędzy sztywnościami giętnymi prętów pokazaną na rys. 1. W obliczeniach wykorzystano najnowsze wersje systemu oferowane aktualnie przez producentów. Uzyskane wyniki zestawiono w tab. 1.
Analiza wyników
Otrzymane wyniki świadczą o konieczności każdorazowej weryfikacji uzyskanych rezultatów i poddają w wątpliwość sens korzystania z opcji analizy stateczności, jaką oferują producenci testowanego oprogramowania, skoro tylko w jednym przypadku obliczony wynik jest poprawny. Pozostałe wyniki (poza wartością μIJ = 2,20) są zaniżone, co – jak wiadomo – jest niebezpieczne z projektowego punktu widzenia.
Dostępne na rynku oprogramowanie można podzielić na dwie grupy: programy bazujące na rozwiązaniu równania stateczności zapisanego dla całej konstrukcji, a więc wyznaczeniu wartości i wektorów własnych macierzy sztywności układu zapisanej według teorii II rzędu, oraz programy, które wykorzystują uproszczone modele pręta zastępczego. Modele te, w zależności od zastosowanego podejścia, uwzględniają jedynie wpływ elementów sąsiednich lub pośrednio dzięki zastępczych podpór sprężystych starają się oddać pracę całego układu. Niemniej jednak wydaje się, iż próba obliczenia współczynnika długości wyboczeniowej dowolnego pręta ustroju ramowego dzięki uproszczonych wzorów zaimplementowanych w programach niejako z góry skazana jest na niepowodzenie.
Stopień złożoności rozwiązywanego zagadnienia własnego jest z matematycznego punktu widzenia na tyle skomplikowany, iż jego uproszczenie może prowadzić i nierzadko prowadzi do niedopuszczalnie dużych błędów. Z kolei korzystając z programów bazujących na rozwiązaniu zagadnienia własnego, jesteśmy w stanie uzyskać bardzo dużą dokładność wyników, ale i tu trzeba być ostrożnym. Należy pamiętać, iż w programach wykorzystujących metodę elementów skończonych macierz sztywności obliczana według teorii II rzędu nie jest ścisła. Wskutek tego, aby uzyskać prawidłowe rozwiązanie, całą konstrukcję należy dodatkowo podzielić na mniejsze elementy. Stopień gęstości podziału układu należy każdorazowo przetestować, analizując różnice w wynikach otrzymane przy kolejnych podziałach układu. Ponadto uzyskane rezultaty należy jeszcze adekwatnie zinterpretować.
